3.1 n维向量概念及线性运算

一、n维向量


　　定义1.1：由n个数组成的一个有序数值称为一个n维向量，数称为该n维向量的第i个分量。
　　若该向量表示成一列，称为n维列向量，它也就是矩阵；若该向量表示成一行，称为n维行向量，它也就是矩阵。
　　
　　今后，我们用小写字母等表示向量，而且约定，一般表示列向量。

　　定义1.2：分量全为零的向量称为零向量，记作O。
　　若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组。

　　当然我们要求向量组中向量或全是行向量，或全是列向量，本章重点讨论一个向量组中向量之间的关系。

　　例1：设A为一个矩阵，如将A按列分块，得，其中每一个为一个m维列向量，称，为矩阵A的列向量组；如将A按行分块，得其中每个为一个n维行向量，称为矩阵A的行向量组。

二、向量的线性运算


　　既然向量作为一个特殊的矩阵，则与矩阵类似，有以下向量的相等、负向量及向量线性运算的定义。

　　定义1.3：如果n维向量与n维向量的对应分量都相等，即，则称向量与相等，记作。

　　注意：一个行向量与一个列向量即使对应的分量相等，也不能说这两个向量相等。

　　定义1.4：设向量，把称为的负向量。

　　定义1.5（向量的加法）
　　设n维向量，，则规定向量的加法：，利用负向量，定义减法：

　　定义1.6（数与向量的数量乘法）
　　设是一个n维向量，为一个数，则规定

　　向量的加法运算与数乘运算统称为向量的线性运算，它们满足与矩阵的线性运算完全相同的8条运算规律。

　　例1：设有3维向量组，，，求向量
　　解：

　　例2：设，求满足的向量。
　　解：

三、线性表出与线性组合


　　定义1.7：设是一组n维向量，是一组常数，称向量为的一个线性组合，常数为该线性组合的组合系数。

　　定义1.8：设有n维向量组及向量，若存在常数，使得，则称向量可用线性表出（或线性表示），或称是的线性组合，仍称为组合系数或表出系数，否则称不能用线性表出。

　　例如：在例1中，为向量组的一个线性组合，若记，由。所以可用线性表出，2，3，-1为表出系数，又如，设，则向量不能用线性表出。

　　例3：零向量可用任意一个向量组线性表出。
　　　　

　　例4：考虑n维标准向量组：，，中第i个分量为1，其余分量都为0，则任意一个n维向量都可以唯一地表示成这n个标准向量的线性组合：

　　下面介绍线性方程组的向量表示法：
　　设由m个方程组成的n元线性方程组
　　引入m维列向量 ，及
　　那末，线性方程组（1）即为，或
　　显然n元齐次线性方程组的向量表示法为：

四、线性表出的判定及表出系数的求法


　　对于给定的n维向量组及向量，如何判断能否用线性表出呢？
　　考虑由与组成的m元线性方程组，方程组中方程个数就是向量维数n，由线性表出定义，显然有下述定理：

　　定理1.1：向量可以由向量组线性表出线性方程组有解，且方程组的一个解就是一个表出系数。

　　若方程组有唯一解，则表明可由线性表出，且表示法唯一；若方程组有无穷多解，则表明可由线性表出，且表出方式有无穷多种。

　　例2：向量能否表成，，的线性组合？
　　解：考虑三元线性方程组，其增广矩阵
　　　　所以，，方程组有唯一解
　　　　所以，可以由唯一地线性表出，且表示为：

　　例3：问能否表示成的线性组合？
　　解：本题中向量为3维行向量，可全部转置成3维列向量，再如上类似地讨论。
　　　　考虑三元线性方程组，其增广矩阵
　　　　则，说明方程组有无穷多解。
　　　　且一般解为，那么能用线性表出，且表出方式有无穷多种。
　　　　令，则一般表达式为：，其中k为任意常数。