5.2 方阵的相似变换

一、方阵的相似变换的概念


	定义2.1：设A和B是两个n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得，则称A和B是相似的，记为。也说矩阵A经过相似变换变成B，P为相似交换矩阵。

　　
　　同阶方阵的相似关系有以下三条性质：
　　（1）反身性：

　　（2）对称性：若

，则

　　（3）传递性：若

，则

　　当两个同阶方阵相似时，它们有很多共同的性质。


	定理2.1：设，则　　（1）A与B有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。　　（2）对任意自然数，有　　（3）对任意多项式，有

　　证：（1）设，则由
　　　　　　　得到
　　　　（2）设，故，即
　　　　　　　

　　　　（3）请自己证明

　　注：本定理（1）的逆定理并不成立，具有相同特征值的两个方阵未必相似。例如与，它们的特征多项式同为，但它们不相似，因单位方阵只能与自己相似。

　　例1：设

与

是相似的矩阵。（1）求出参数x和y的值；（2）求A的特征值。
　　解：（1）因为

，由

，则

，得到

，再根据

，即

，得

。
　　　　（2）因B为对角矩阵，B的对角元

即为B的特征值，而A与B相似，所以A的特征值也是

。

二、矩阵可对角化的条件

　　由例1得到启发，因为B是对角矩阵，它的行列式的值就是B的对角元的乘积，它的秩就是对角元中非零元素的个数，特别它的对角元就是B的特征值，而当A与对角矩阵B相似时，也就容易知道

，

与A的特征值。为此，我们给出一个说法：如果n阶矩阵A可以相似于一个n阶对角矩阵，即如果存在可逆矩阵P，使

为对角矩阵，则说方阵A可对角化，并把这个对角矩阵称为A的相似标准形，然而，并非所有的n阶矩阵都可对角化，有以下定理：


	定理2.2：n阶方阵A相似于对角矩阵A有n个线性无关的特征向量。

　　证：必要性：
　　　　设A可对角化，即有可逆矩阵P，使

，则有

　　　　把P按列分块，即

，由P可逆知

为线性无关向量组。
　　　　而

，又
　　　　

　　　　所以由

，即为

，由此得列向量等式
　　　　

。

　　说明：可逆矩阵P的n个列向量就是A的n个线性无关的特征向量。
　　充分性：
　　设A有n个线性无关的特征向量

，且

，则以

为列向量组构造矩阵P，即

，则P为n阶可逆矩阵，而且满足

，则

为对角矩阵。
　　说明：本定理充分性证明告知，当n阶方阵A可对角化时，即A有n个线性无关的特征向量

，只要令

就为可逆矩阵，使得

为对角矩阵，而且对角矩阵

的对角元就是与特征向量

次序相对应的A的n个特征值，切记不可放错位置。

　　那么，对于给定的n阶方阵A，如何能确保它有n个线性无关的特征向量呢？有以下定理：


	定理2.3：设是n阶方阵A的两两不同的特征值，是属于的特征向量，则线性无关。　　本定理常简述为：属于不同特征值的特征向量必线性无关。

　　在定理2.3中，我们只对A的互不相同的特征值

各取一个属于它的特征向量

，则把它们放在一起的向量组

是线性无关的，但由前面求特征向量的方法知道，对A的某个特征值

属于它的线性无关的特征向量正是齐次线性方程组

的基础解系，个数可能不止一个，而是若干个，把属于A的互不相同的特征值的线性无关特征向量组放在一起，形成一大组向量，它还线性无关吗？我们的答案是肯定的。


	定理2.4：设是n阶方阵A的两两不同的特征值，又设A的属于的线性无关特征向量组为，则它们的并集必线性无关。